Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上遞減，α，β是銳角三角形的兩個內角且α≠β，則下列不等式正確的是（　�。�

A．f（sinα）＞f（cosβ）

B．f（sinα）＜f（cosβ）

C．f（sinα）＞f（sinβ）

D．f（cosα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析：由條件f（x+1）=-f（x），得到f（x）是周期為2的周期函數，由f（x）是定義在R上的偶函數，在[-3，-2]上是減函數，根據偶函數的對稱性可知f（x）在[2，3]的單調性，根據周期性進而可知函數f（x）在[0，1]上單調性，再由α，β是銳角三角形的兩個內角，得α＞90°-β，且sinα、cosβ都在區間[0，1]上，從而可求

解答：解：∵f（x+1）=-f（x）
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）即f（x）是周期為2的周期函數．
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）在[-3，-2]上是減函數
根據偶函數的對稱性可知函數f（x）在[2，3]上是增函數
根據函數的周期可知，函數f（x）在[0，1]上是增函數，
∵α，β是銳角三角形的兩個內角
∴α+β＞90°，α＞90°-β，
∴1≥sinα＞sin（90°-β）=cosβ≥0
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選 A

點評：本題綜合考查函數的奇偶性、單調性、周期性等函數知識的綜合應用，解題的關鍵是靈活應用函數的知識．