Question

已知點D在定線段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一個動圓C過點D且與MN相切，分別過M、N作圓C的另兩條切線交于點P．
（Ⅰ）建立適當的直角坐標系，求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點M作直線l與所求軌跡交于兩個不同的點A、B，若（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，求直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O，建立直角坐標系xOy．由題意知點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線（不包含頂點），其軌跡方程為（y≠0）．
（Ⅱ）由題設條件知=±λ，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）設AB：my=x+2，代入得，（3m²-1）y²-12my+9=0．所以．由此入手能夠求出直線l與直線MN夾角θ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）以直線MN為x軸，MN的中點為坐標原點O，
建立直角坐標系xOy． （1分）
∵PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=2
或PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=-2 （3分）
∴點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線（不包含頂點），
其軌跡方程為（y≠0） （5分）
（Ⅱ）∵（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，
∴=±λ，（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）
設AB：my=x+2，代入得，3（my-2）²-y²-3=0，
即（3m²-1）y²-12my+9=0．
∴（7分）
①當=λ時，y₁=λy₂，∴（8分）得，，（9分）
∴∈[4，6]，即4≤≤6．
∴解得，m²≥3，故tan²θ≤（10分）
②當=-λ時y₁=-λy₂，∴（11分）得，，即．
∵λ∈[2-，2+]，∈[2，4]
∴∈[-2，0]，即-2≤≤0．
∴即，故tan²θ≥11． （13分）
由①、②得tan²θ≤或tan²θ≥11．
則夾角θ∈（0，]∪arctan，），（14分）
∵tanθ不存在時，直線l符合條件，故θ=時，符合題意．
∴θ∈（0，]∪[arctan，）． （15分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．