Question

（文）已知直線l與曲線y=

1

x

相切，分別求l的方程，使之滿足：
（1）l經過點（-1，-1）；（2）l經過點（2，0）；（3）l平行于直線y=-2x．

Answer 1

分析：（1）由題意可得點（-1，-1）在曲線上，故切線的斜率為y′/x=-1，用點斜式求直線方程．
（2）設切線的方程為 y-0=k（x-2），代入曲線的方程化簡，由判別式△=4k²+4k=0 可得k 值，用點斜式求直線方程．
（3）設直線l的方程為 y=-2x+m，代入曲線方程化簡，由△=m²-8=0 可求得m 值，從而得到所求的切線方程．

解答：解：（1）由題意可得點（-1，-1）在曲線上，故切線的斜率為y′/x=-1=-1，
故切線的方程為 y+1=-1（x+1），即 x+y+2=0．
（2）設切線的斜率為k，則k≠0，切線的方程為 y-0=k（x-2），代入曲線的方程化簡可得
kx²-2kx-1=0，由△=4k²+4k=0 可得，k=-1．
故所求的直線方程為 y=-x+2．
（3）設直線l的方程為 y=-2x+m，代入曲線方程化簡可得 2x²-mx+1=0，
由△=m²-8=0可得  m=2

2

，或  m=-2

2

，
故所求的切線方程為 y=-2x+2

2

， 或 y=-2x-2

2

．

點評：本題考查用點斜式求直線方程，直線和曲線相切的性質，求出切線的斜率是解題的關鍵．