Question

如圖，在平面直角坐標系中，一條定長為m的線段其端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，設點M滿足

AM

=λ

MB

（λ是大于0的常數）．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；
（Ⅱ）若λ=2，已知直線l與原點O的距離為

m

2

，且直線l與動點M的軌跡有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用消參法求軌跡方程，先設出M點的坐標，根據已知

AM

=λ

MB

，轉化為含參數的方程，再消掉參數，即可得到點M的軌跡方程，再根據方程中參數λ的范圍，判斷是什么曲線．
（Ⅱ）設出直線l的方程，利用直線l與原點O的距離為

m

2

，求出方程中k，b的關系，再根據直線l與動點M的軌跡有公共點，即可求出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設點M坐標為（x，y），點A坐標為（a，0），點B坐標為（0，b）
則，

AM

=（x-a，y），

MB

=（-x，b-y），
∵

AM

=λ

MB

，∴（x-a，y）=λ（-x，b-y），
∴x-a=-λx，y=λ（b-y）
∴a=λx+x，b=

λy+y

λ

∵線段AB長為m，∴a²+b²=m²
∴(λx+x)2+(

λy+y

λ

)2=m2
化簡，得，(λ+1)2x2+(1+

1

λ

)2y2=m2
當λ=1時，點M的軌跡是圓心在坐標原點，半徑為

2 m

2

的圓，
當λ≠1時，點M的軌跡是橢圓．
（Ⅱ）當λ=2時，點M的方程可化為x2+

y2

4

=

m2

9

當直線l斜率存在時，設直線l方程為y=kx+b，
∵線l與原點O的距離為

m

2

，∴

|b|

k2+1

=

m

2

|b|=

m

2

k2+1

，b=±

m

2

k2+1

，
∴直線方程為y=kx±

m

2

k2+1

由

y=kx+ m 2 k2+1 x2+ y2 4 = m2 9

得，（1+

k2

4

）x²+

km k2+1 x

4

+

m2k2+m2

16

-

m2

9

=0
∵直線l與動點M的軌跡有公共點，∴方程組

y=kx+ m 2 k2+1 x2+ y2 4 = m2 9

有解
即方程（1+

k2

4

）x²+

km k2+1 x

4

+

m2k2+m2

16

-

m2

9

=0有解
∴△=(

km k2+1

4

)2-4（1+

k2

4

）（

m2k2+m2

16

-

m2

9

）≥0
化簡得，m²≥5，m≥5或m≤-5
當y=kx-

m

2

k2+1

時，同樣有m≥5或m≤-5成立
當直線斜率不存在時，直線與動點M的軌跡沒有公共點．
直線l的斜率k的取值范圍為（-∞，-

5

]∪[

5

，+∞）

點評：本題主要考查了消參法求軌跡方程，以及直線與橢圓位置關系的判斷．