Question

已知a，b是正實數，設函數f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb．
（Ⅰ）設h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的單調區間；
（Ⅱ）若存在x₀，使x₀∈[

a+b

4

，

3a+b

5

]且f（x₀）≤g（x₀）成立，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據已知求出h（x）=f（x）-g（x）的解析式，求出其導函數，分別求出導函數為正，為負時x的取值范圍，進而可得h（x）的單調區間；
（Ⅱ）根據區間的定義可得

a+b

4

＜

3a+b

5

，由f（x₀）≤g（x₀），結合（I）中函數的單調性，分類討論，最后綜合討論結果，可得

b

a

的取值范圍．

解答：解：（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+a-xlnb
∴h′（x）=lnx+1-lnb
由h′（x）＞0得x＞

b

e

，
∴h（x）在（0，

b

e

）上單調遞減，（

b

e

，+∞）上單調遞增．…（4分）
（2）由

a+b

4

＜

3a+b

5

得

b

a

＜7                      …（5分）
（i）當

a+b

4

≤

b

c

≤

3a+b

5

，即

e

4-e

≤

b

a

≤

3e

5-e

時，
h（x）_min=h（

b

e

）=-

b

e

+a
由-

b

e

+a≤0得

b

a

≥e，
∴e≤

b

a

≤

3e

5-e

                …（7分）
（ii）當

b

c

＜

a+b

4

時，a＞

4-e

e

b
∴h（x）在[

a+b

4

，

3a+b

5

]上單調遞增．
h（x）_min=h（

a+b

4

）=

a+b

4

（ln

a+b

4

-lnb）+a≥

a+b

4

（ln

b

e

lnb）+a=

3a-b

4

＞

3 4-e e b-b

4

=

3-e

e

b＞0
∴不成立                                         …（9分）
（iii）當

b

e

＞

3a+b

5

，即

b

a

＞

3e

5-e

時，a＜

5-e

3e

b
h（x）在[

a+b

4

，

3a+b

5

]上單調遞減．
h（x）_min=h（

3a+b

5

）=

3a+b

5

（ln

3a+b

5

-lnb）+a＜

3a+b

5

（ln

b

e

lnb）+a=

2a-b

5

＜

2• 5-e 3e b-b

5

=

2-e

3e

b＜0
∴當

b

a

＞

3e

5-e

時恒成立                           …（11分）
綜上所述，e≤

b

a

＜7                            …（12分）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數恒成立問題，熟練掌握導數法求函數的單調性和最值的方法和步驟是解答的關鍵．