Question

已知函數f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，由導數的正負，可確定f（x）的單調區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，π]上的單調性，從而可得f（x）在[-π，π]上的最大值與最小值，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得f′（x）=（-sinx+cosx）e^-x=

2

cos（x+

π

4

）e^-x．
令f′（x）=0，解得：x=kπ+

π

4

，k∈Z．
因為當x∈（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z）時，f′（x）＞0；當x∈（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）時，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調遞增區間是（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z），單調遞減區間是（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，-

3π

4

）上單調遞減，在（-

3π

4

，

π

4

）上單調遞增，在（

π

4

，π]上單調遞減．
f（-π）=0，f（

π

4

）=

2

2

e-

π

4

＞0，f（π）=0，f（-

3π

4

）=-

2

2

e

3π

4

＜0
所以f（x）在[-π，π]上的最大值為

2

2

e-

π

4

，最小值為-

2

2

e

3π

4

．
所以f（x）在[-π，+∞）上，x=2kπ+

π

4

（k∈Z）時，取得最大值

2

2

e-

π

4

；當x=2kπ-

3

4

π（k∈Z）時，取得最小值-

2

2

e

3π

4

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，正確確定函數的單調性是關鍵，屬于中檔題．