Question

設α∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）滿足f(-

π

3

)=f(0)，求函數f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化簡函數f（x），然后f(-

π

3

)=f(0)，求出a的值，進一步化簡為f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后根據x的范圍求出2x-

π

6

，的范圍，利用單調性求出函數的最大值和最小值．

解答：解：f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）
=asinxcosx-cos²x+sin²x
=

a

2

sin2x-cos2x
由f(-

π

3

)=f(0)得-

3

2

•

a

2

+

1

2

=-1
解得a=2

3

所以f（x）=2sin（2x-

π

6

），
所以x∈[

π

4

，

π

3

]時2x-

π

6

∈[

π

3

，

π

2

]，f（x）是增函數，
所以x∈[

π

3

，

11π

24

]時2x-

π

6

∈[

π

2

，

3π

4

]，f（x）是減函數，
函數f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最大值是：f（

π

3

）=2；
又f（

π

4

）=

3

，f（

11π

24

）=

2

；
所以函數f（x）在[

π

4

，

11π

24

]上的最小值為：f（

11π

24

）=

2

；

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡，二倍角公式的應用，三角函數的求值，函數的單調性、最值，考查計算能力，常考題型．