Question

已知a≥0，函數(shù)=(x²-2ax)e^x.

       (1)當(dāng)x為何值時(shí)，取得最小值？證明你的結(jié)論;

       (2)設(shè)在［－1,1］上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

      

Answer 1

解析：(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù),得?

       f′(x)=(x²-2ax)e^x+(2x-2a)e^x?

       =［x²+2(1-a)x-2a］e^x.?

       令f′(x)=0,得［x²+2(1-a)x-2a］e^x=0,?

       從而x²+2(1-a)x-2a=0.?

       解得x₁=a-1-,x₂=a-1+,其中x₁<x₂.?

       當(dāng)x變化時(shí),f′(x)、的變化如下表:

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

       當(dāng)在x=x₁處取到極大值,在x=x₂處取到極小值.?

       當(dāng)a≥0時(shí),x₁<-1,x₂≥0.?

       在 (x₁,x₂)上為減函數(shù),在(x₂,+∞)上為增函數(shù).?

       而當(dāng)x<0時(shí), =x(x-2a)e^x>0;?

       當(dāng)x=0時(shí), =0.?

       所以當(dāng)x=a-1+時(shí), 取得最小值.?

       (2)當(dāng)a≥0時(shí), 在［-1,1］上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是x₂≥1，即a-1+≥1.

       解得a≥.?

       綜上, 在［-1,1］上為單調(diào)函數(shù)的充分必要條件為a≥，即a的取值范圍是［,+∞).