Question

在數列{a_n}中，a₁＝1，＝＋．

(1)設b_n＝，求數列{b_n}的通項公式；

(2)求數列{a_n}的前n項和S_n．

 

Answer 1

【答案】

(1) b_n＝2－ (2) n(n＋1)＋－4

【解析】(1)由＝＋可知b_n＋1＝b_n＋,然后可利用疊加法求b_n.

(2)再利用b_n＝可求出,然后再利用分組求和和錯位相減法求和即可．

解：(1)由已知得b₁＝a₁＝1且＝＋，

即b_n＋1＝b_n＋，

從而b₂＝b₁＋，

b₃＝b₂＋，

…

b_n＝b_n－1＋ ( n≥2)，

于是b_n＝b₁＋＋＋…＋，

＝2－ ( n≥2)，      ………………4分

又b₁＝1，       ………………5分

∴{b_n}的通項公式b_n＝2－    .………………6分

(2)由(1)知a_n＝n·b_n＝2n－，     ………………7分

令T_n＝＋＋＋…＋，

則2T_n＝2＋＋＋…＋，    ………………8分

作差得：

T_n＝2＋(＋＋…＋)－＝4－，     ………………10分

∴S_n＝(2＋4＋6＋…＋2n)－T_n

＝n(n＋1)＋－4. ………………12分

說明：各題如有其它解法可參照給分．