Question

函數f（x）=

1

2

x²-mln

1+2x

+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）試討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）已知當m≤-

g

2

（其中e是自然對數的底數）時，在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]至少存在一點x₀，使f（x₀）＞e+1成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當m=-1時，對任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數的定義域，并求出f′（x）=0時x的值，在定義域內取m的值討論導函數的正負決定函數的增減性，得到函數的單調區間即可；
（Ⅱ）在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]至少存在一點x₀，使f（x₀）＞e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范圍．所以在根據第一問函數的增減性得到在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]區間f（x）的最大值即可；
（Ⅲ）把m=-1代入求出f（x），然后構造輔助函數g（x）=f（x）-

1

3

x，求出g′（x）并討論得到g（x）在（0，1）為減函數，對任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-

1

3

x₁＞f（x₂）-

1

3

x₂．即f（x₂）-f（x₁）＜

1

3

（x₂-x₁）解出即可得證．

解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定義域為x∈（-

1

2

，+∞）．
f′（x）=x-

m

1+2x

+m=

2 x2+(2m+1) x

1+2x

=

2x(x+m+ 1 2 )

1+2x

．
由f′（x）=0得：x=0或x=-m-

1

2

．
∵m＜0，∴-m-

1

2

∈（-

1

2

，+∞）．
∴（1）當-

1

2

≤m＜0時，則x∈（-

1

2

，-m-

1

2

）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（-m-

1

2

，0）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
（2）當m＜-

1

2

時，則x∈（-

1

2

，0）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（0，-m-

1

2

）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（-m-

1

2

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．

（Ⅱ）在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]上至少存在一點x₀，使f（x₀）＞g+1成立，
等價于當x∈（-

1

2

，

g-1

2

]時，f（x）_max＞g+1．
∵m≤-

g

2

，∴

g-1

2

≤-m-

1

2

．
由（Ⅰ）知，x∈（-

1

2

，0]時，f（x）為增函數，x∈[0，

g-1

2

）時，f（x）為減函數．
∴在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]時，f（x）_max=f（0）=-2m．∴-2m＞g+1，即m＜

-1-g

2

．
檢驗，上式滿足m≤-

g

2

，所以m＜

-1-g

2

是所求范圍．

（Ⅲ）當m=-1時，函數f（x）=

1

2

x²+ln

1+2x

-x+2．
構造輔助函數g（x）=f（x）-

1

3

x，并求導得g′（x）=x+

1

1+2x

-

4

3

=

6x2-5x-1

3(1+2x)

=

(6x+1)(x-1)

3(1+2x)

顯然當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數．
∴對任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-

1

3

x₁＞f（x₂）-

1

3

x₂．
即f（x₂）-f（x₁）＜

1

3

（x₂-x₁）
即．又∵x₂-x₁＞0，∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，理解函數的最值及幾何意義，掌握利用函數增減性證明不等式的方法．