Question

（本小題滿分13分）
某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，經過t小時與輪船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（Ⅱ）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。

Answer 1

本小題主要考查解三角形、二次函數等基礎知識，綠茶推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力、英語意識，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。滿分13分。




解法一：
（I）設相遇時小艇航行的距離為S海里，則

=
=
故當時，，此時
即，小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。
（II）設小艇與輪船在B出相遇，則

故
，
即，解得
又時，
故時，t取最小值，且最小值等于
此時，在中，有，故可設計寒星方案如下：
航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇
解法二：
（I）若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向。
設小艇與輪船在C處相遇。
在中，，
又， 
此時，輪船航行時間，
即，小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。
（II）猜想時，小艇能以最短時間與輪船在D出相遇，此時
又，所以，解得
據此可設計航行方案如下：
航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇
證明如下：
如圖，由（I）得，，
故，且對于線段上任意點P,
有 而小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，
故小艇與輪船不可能在A，C之間（包含C）的任意位置相遇。
設，則在中，，
由于從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為
和
所以，
由此可得，
又，故
從而，
由于時，取得最小值，且最小值為
于是，當時，取得最小值，且最小值為
解法三：
（I）同解法一或解法二
（II）設小艇與輪船在B處相遇。依據題意得：
，
（
（1）                 若，則由

=
得

解析