Question

已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個極值點．求：
（I）實數a的值；  
（Ⅱ）函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求導f′（x），再由x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個極值點即f′（3）=0建立方程，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）確定函數f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調區間．
解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=+2x-10
所以f′（3）=+6-10=0
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）
∴f′（x）=
當x∈（-1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0
所以f（x）的單調增區間是（-1，1），（3，+∞）；f（x）的單調減區間是（1，3）
點評：本題主要考查利用求導研究函數的單調性，解題的關鍵是弄清函數在某點取得極值的條件，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．