Question

（2007•河東區一模）在△ABC中，設a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為△ABC的面積，且滿足條件4sinB•sin²（

π

4

+

B

2

）+cos2B=1+

3

．
（Ⅰ）求∠B的度數；
（Ⅱ）若a=4，S=5

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角恒等變換公式化簡已知等式，算出sinB=

3

2

，結合B是△ABC的內角可B=

π

3

或B=

2π

3

；
（II）根據正弦定理的面積公式，算出邊c=5．再利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入數據即可算出邊b的值等于

21

或

61

．

解答：解：（Ⅰ）由4sinB•sin²（

π

4

+

B

2

）+cos2B=1+

3

，得
2sinB•[1-cos（

π

2

+B）]+1-2sin²B=1+

3

，可得sinB=

3

2

，
又∵B是△ABC的內角，∴B=

π

3

或B=

2π

3

；
（II）∵a=4，S=5

3

，
∴

1

2

acsinB=

1

2

×4×c×

3

2

=5

3

，解之得c=5
∵由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB
∴當B=

π

3

時，b=

16+25-2×4×5×cos60°

=

21

；
當B=

2π

3

時，b=

16+25-2×4×5×cos120°

=

61

．
即邊b的值等于

21

或

61

點評：本題給出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面積的情況下求邊b．著重考查了三角恒等變換、正余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．