Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)=

(1) 若存在單調(diào)增區(qū)間，求的取值范圍；

（2）是否存在實數(shù)>0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，求出的取值范圍？若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞)

（2）, 所以a的取值范圍是(1, )

【解析】答：（1）由已知，得h(x)=  且x>0,  …………………...1f

則hˊ(x)=ax+2-=,…………………………………………………2f

 ∵函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

∴hˊ(x)>0有解, 且解滿足……………………….……3f

即不等式ax²+2x-1>0有滿足……………………..……4f

當a<0時, y=ax²+2x-1的圖象為開口向下的拋物線, 要使ax²+2x-1≥0總有x>0的解, 則方程ax²+2x-1=0至少有一個不重復正根, 而方程ax²+2x-1=0總有兩個不相等的根時, 則必定是兩個不相等的正根. 故只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0……………….5f

當a>0 時, y= ax²+2x-1的圖象為開口向上的拋物線,  ax²+2x-1≥0 一定有x>0的解.    …………………………………………………………………………….……...6f           

綜上, a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….…….  7f

解法二、同解法一…….

即不等式ax²+2x-1>0有滿足……………………….……4f

即有解……………………………………………………….5f

令的最小值為……………………………………..……6f

結合題設得a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) ………………………………………  7f

解法三、同解法一……….

即不等式ax²+2x-1>0有滿足……………………..……4f

(1)當, ，ax²+2x-1>0沒有符合條解………………………5f

(2)當，方程的兩根是，此時，區(qū)間是所求的增區(qū)間。.

………………………………………………………………………………………………6f

當，方程的兩根是，，區(qū)間為所求的增區(qū)

綜上, a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….…….  7f  

（2）解法一、方程

即為

等價于方程ax²+(1-2a)x-lnx=0 .  …………………………………………………..  8f

設H(x)= ax²+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在區(qū)間()內(nèi)根的問題, 轉(zhuǎn)化為函數(shù)H(x)在區(qū)間()內(nèi)的零點問題………………………………………………………………….... 9f 

 Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=  ……….….….10f

當x∈(0, 1)時, Hˊ(x)<0,  H(x)是減函數(shù)；   當x∈(1, +∞)時, Hˊ(x)>0,  H(x)是增函數(shù)；  

若H(x)在()內(nèi)有且只有兩個不相等的零點, 只須

       ……………..…13f

解得, 所以a的取值范圍是(1, )  …………………… …..14f