Question

已知函數在處切線為.
（1）求的解析式；
（2）設，，，表示直線的斜率，求證：.

Answer 1

（1）；（2）見解析

試題分析：（1）將切點代入切線方程可得。由切線方程可知切線的斜率為1，根據導數的幾何意義可得。解方程組即可求得的值。從而可得的解析式。（2）可將問題轉化證，因為所以即證，分別去證和。再證這兩個不等式時均采用構造函數求其最值的方法證明即可。用其他方法證明也可。
試題解析：（1），，∴由得 3分
把代入得，即，∴
∴.     5分
（2）『證法1』：
證明：由（1）∴證明即證
各項同除以，即證 8分
令，則，這樣只需證明即
設,,
∵，∴，即在上是增函數
∴，即  10分
設，
∴在也是在增函數
，即
從而證明了成立，所以成立. 12分
『證法2』：
證明：等價于
即 8分
先證，
問題等價于，即
設，則
∴在上是增函數，
∵，∴，∴，
得證.    10分
再證，
問題等價于，即
設，則
∴在上是減函數，
∵，∴，∴，
得證.綜上，.         12分