Question

定義：對于任意n∈N^*，滿足條件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是與n無關的常數）的無窮數列a_n稱為T數列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），證明：數列a_n是T數列；
（2）設數列b_n的通項為bn=50n-(

3

2

)n，且數列b_n是T數列，求常數M的取值范圍；
（3）設數列cn=|

p

n

-1|（n∈N^*，p＞1），問數列b_n是否是T數列？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2，所以數列a_n滿足

an+an+2

2

≤an+1．由此能夠證明數列a_n是T數列．
（2）因為bn+1-bn=50(n+1)-(

3

2

)n+1-50n+(

3

2

)n=50-

1

2

(

3

2

)n，所以當50-

1

2

(

3

2

)n≥0即n≤11時，b_n+1-b_n＞0，此時數列b_n單調遞增．當n≥12時，b_n+1-b_n＜0，此時數列b_n單調遞減；故數列b_n的最大項是b₁₂，由此能求出M的取值范圍．
（3）當1＜p≤2時，對于n∈N^*有cn=|

p

n

-1| ＜1，所以當1＜p≤

6

5

時數列c_n是T數列；當2＜p≤3時，數列c_n不是T數列．當p＞3時，數列c_n不是T數列．

解答：解：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2
所以數列a_n滿足

an+an+2

2

≤an+1．（2分）
又an=-(n-

9

2

)2+

81

4

，當n=4或5時，a_n取得最大值20，即a_n≤20．
綜上，數列a_n是T數列．（4分）
（2）因為bn+1-bn=50(n+1)-(

3

2

)n+1-50n+(

3

2

)n=50-

1

2

(

3

2

)n，
所以當50-

1

2

(

3

2

)n≥0即n≤11時，b_n+1-b_n＞0，此時數列b_n單調遞增（6分）
當n≥12時，b_n+1-b_n＜0，此時數列b_n單調遞減；故數列b_n的最大項是b₁₂，
所以，M的取值范圍是M≥600-(

3

2

)12（9分）
（3）①當1＜p≤2時，當n=1時c1=p-1，c2=1-

p

2

，c3=1-

p

3

，
由c1+c3-2c2=

5p

3

-2≤0得p≤

6

5

，
即當1＜p≤

6

5

時符合

cn+cn+2

2

≤cn+1條件．（11分）
若n≥2，則

p

n

≤1，此時cn=1-

p

n

于是cn+cn+2-2cn+1=(1-

p

n

)+(1-

p

n+2

)-2(1-

p

n+1

)=

-2p

n(n+1)(n+2)

＜0
又對于n∈N^*有cn=|

p

n

-1| ＜1，
所以當1＜p≤

6

5

時數列c_n是T數列；（13分）
②當2＜p≤3時，
取n=1則：c1=p-1，c2=

p

2

-1，c3=1-

p

3

，
由c1+c3-2c2=2-

p

3

＞0，所以2＜p≤3時數列c_n不是T數列．（15分）
③當p＞3時，
取n=1則c1=p-1，c2=

p

2

-1，c3=

p

3

-1，
由c1+c3-2c2=

5p

6

＞0，所以p＞3時數列c_n不是T數列．（17分）
綜上：當1＜p≤

6

5

時數列c_n是T數列；當p＞

6

5

時數列c_n不是T數列．（18分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．