Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點(

3

，-

3

2

)，且橢圓的離心率e=

1

2

，過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點A、B及C、D．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：

1

|AB|

+

1

|CD|

為定值；
（Ⅲ）求|AB|+

9

16

|CD|的最小值．

Answer 1

（I）由e=

c

a

=

1

2

，得

c2

a2

=

1

4

，
∴a²=4c²=4（a²-b²），
∴3a²=4b²．（1），…（1分）
由橢圓過點(

3

，-

3

2

)知，

3

a2

+

3

4b2

=1．（2）…（2分）
聯立（1）、（2）式解得a²=4，b²=3．…（3分）
故橢圓的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（II）

1

|AB|

+

1

|CD|

為定值

7

12

…（5分）
證明：橢圓的右焦點為F′（1，0），分兩種情況．
1°當直線AB的斜率不存在時，AB：x=1，
則CD：y=0．此時|AB|=3，|CD|=4，

1

|AB|

+

1

|CD|

=

7

12

；…（6分）
2°當直線AB的斜率存在時，
設AB：y=k（x-1）（k≠0），則CD：y=-

1

k

(x-1)．
又設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立方程組

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，
消去y并化簡得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1•x2=

4k2-12

4k2+3

…（7分）
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

64k4-16(k2-3)(4k2+3) (4k2+3)2

=

12(k2+1)

4k2+3

，…（8分）
由題知，直線CD的斜率為-

1

k

，
同理可得|CD|=

12(1+k2)

4+3k2

…（9分）
所以

1

|AB|

+

1

|CD|

=

7k2+7

12(k2+1)

=

7

12

為定值．…（10分）
（Ⅲ）由（II）知

1

|AB|

+

1

|CD|

=

7

12

，
∴|AB|+

9

16

|CD|=

12

7

(|AB|+

9

16

|CD|)(

1

|AB|

+

1

|CD|

)…（11分）
=

12

7

(

25

16

+

9 16 |CD|

|AB|

+

|AB|

|CD|

)
≥

12

7

(

25

16

+2

9 16 |CD| |AB| × |AB| |CD|

)=

21

4

，…（12分）
當且僅當

9 16 |CD|

|AB|

=

|AB|

|CD|

，
即|AB|=

3

4

|CD|，即|AB|=3，|CD|=4時取等號…（13分）
∴|AB|+

9

16

|CD|的最小值為

21

4

．…（14分）