Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n＝2n²，{b_n}為等比數列，且a₁＝b₁，b₂(a₂－a₁)＝b₁.
(1)求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；（ 6分）
(2)設c_n＝，求數列{c_n}的前n項和T_n.

Answer 1

22.    (1) 當n＝1時，a₁＝S₁＝2
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－2(n－1)²＝4n－2，
又a₁=2滿足上式，
∴a_n＝4n－2.     ………………………………………3分
設{b_n}的公比為q，由b₂(a₂－a₁)＝b₁知，b₁＝2，b₂＝，所以q＝，
∴b_n＝b₁q^n-1＝2×，即b_n＝. …………………………6分
(2)∵c_n＝＝＝(2n－1) 4^n-1，      …………………………8分
∴T_n＝1＋3×4¹＋5×4²＋…＋(2n－1)4^n-1 ①
又4T_n＝1×4¹＋3×4²＋5×4²＋…＋(2n－3)4^n-1＋(2n－1)4ⁿ ②……………10分
①-②得：-3T_n= 1+2(4¹＋4²＋4³＋…＋4^n-1)-(2n－1)4ⁿ
=-(2n－1)4ⁿ
=
∴T_n＝[(6n－5)4ⁿ＋5].

略