Question

（本題滿分13分）設函數，且，，求證：（1）且；

（2）函數在區間內至少有一個零點；

（3）設是函數的兩個零點，則.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據，求出，再根據即可得證；（2）先求出和，根據零點存在定理分和討論即可得證；

（3）利用韋達定理和第（1）問的結論即可得證.

【解析】

試題分析：(1),,

又，,，                                ……2分

又.            ……4分

（2）

①當時，，

函數在區間內至少有一個零點

②當時，，，

函數在區間內至少有一個零點

綜上所述：函數在區間內至少有一個零點。                    ……8分

（3）是函數的兩個零點，

，.                             ……13分

考點：本小題主要考查不等式的性質、函數的零點存在定理和韋達定理的應用，考查學生的推理論證能力.

點評：證明此類問題時，要充分利用不等式的性質和題設條件，盡量每一步都做到言之有據.