Question

（1）已知(x

x

+

2

3 x

)n展開式中前3項系數的和為129，這個展開式中是否含有常數項和一次項？如果沒有，請說明理由；如有，請求出來．
（2）設an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*，q≠±1)，An=

C

1n

a1+

C

2n

a2+…+

C

nn

an
①用q和n表示A_n；
②求證：當q充分接近于1時，

An

2n

充分接近于

n

2

．

Answer 1

（1）二項式(x

x

+

2

3 x

)n的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

rn

•x

3(n-r)

2

•2^r•x-

r

3

=2r •

C

rn

•x

9n-11r

6

，
展開式中前3項系數的和為 20 •

C

0n

+21 •

C

1n

+22 •

C

2n

=129，解得n=8．
故通項公式為 T_r+1=2r •

C

r8

•x

72-11r

6

，令

72-11r

6

=0，自然數r無解，故展開式中沒有常數項．
令

72-11r

6

=1，解得自然數r=6，故有一次項，且一次項為1792x．
（2）①因為q≠1，所以，a_n=1+q+q²+…+q^n-1=

1-qn

1-q

．
于是，A_n=

1-q

1-q

C

1n

+

1-q2

1-q

C

2n

+…+

1-qn

1-q

 C_nⁿ =

1

1-q

[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
=

1

1-q

{（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}=

1

1-q

[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②∵An=

1

1-q

[2n-(1+q)n]，∴

An

2n

=

1

1-q

[1-(1-

1-q

2

)n]，
當q充分接近于1時，

1-q

2

接近于0，由二項式定理知(1-

1-q

2

)n充分接近于1-n(

1-q

2

)，
所以[1-(1-

1-q

2

)n]充分接近n(

1-q

2

)，故

1

1-q

[1-(1-

1-q

2

)n]充分接近

n

2

，命題得證．