Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，點E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大�。�

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）證明平面PAB⊥平面PCB，只需證明平面PCB內(nèi)的直線BC，垂直平面PAB內(nèi)的兩條相交直線PA，AB，即可證明BC⊥平面PAB，就證明了平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）證明平面EAC外的直線PD，平行平面EAC內(nèi)的直線EM，即可證明PD∥平面EAC；
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中點N，連接AN，在平面PBC內(nèi)，過N作NH⊥直線CE于H，連接AH，．說明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角，解Rt△AHN，求二面角A-EC-P的大小．
法二：（Ⅱ）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量計算，說明

PE

EB

=

DM

MB

，從而證明PD∥EM．PD?平面EAC，EM?平面EAC，PD∥平面EAC．
（Ⅲ）求出平面EAC的一個法向量

n1

，平面EBC的一個法向量

n2

，利用cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

6

，求二面角A-EC-P的大�。�

解答：證明：
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．（2分）
又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，

∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影．
又∵PC⊥AD，
∴AC⊥AD．（5分）
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=

π

4

，
∴∠DCA=∠BAC=

π

4

．
又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形．
∴DC=

2

AC=

2

(

2

AB)=2AB．
連接BD，交AC于點M，則

DM

MB

=

DC

AB

=2．（7分）
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，
∴PD∥EM
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中點N，連接AN，則AN⊥PB．
∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，

∴AN⊥平面PBC．
在平面PBC內(nèi)，過N作NH⊥直線CE于H，連接AH，由于NH是AH在平面CEB內(nèi)的射影，故AH⊥CE．
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角．（12分）
在Rt△PBC中，設(shè)CB=a，則PB=

PA2+AB2

=

2

a，BE=

1

3

PB=

2

3

a，NE=

1

6

PB=

2

6

a，CE=

CB2+BE2

=

11

3

a，
由NH⊥CE，EB⊥CB可知：△NEH∽△CEB，
∴

NH

NE

=

CB

CE

．
代入解得：NH=

a

22

．
在Rt△AHN中，AN=

2

2

a，∴tanAHN=

AN

NH

=

11

（13分）
即二面角A-CE-P的大小為arctan

11

．（14分）
解法二：
（Ⅱ）以A為原點，AB，AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)PA=AB=BC=a，則A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E(0，

2a

3

，

a

3

)．（5分）
設(shè)D（a，y，0），則

CP

=(-a，-a，a)，

AD

=(a，y，0)，∵CP⊥AD，
∴

CP

•

AD

=-a2-ay=0，解得：y=-a．∴DC=2AB．
連接BD，交AC于點M，
則

DM

MB

=

DC

AB

=2．（7分）
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，
∴PD∥EM．
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）設(shè)

n1

=（x，y，1）為平面EAC的一個法向量，則

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

∴

ax+ay=0 2ay 3 + a 3 =0.

解得：x=

1

2

，y=-

1

2

，∴

n1

=(

1

2

，-

1

2

，1)．（11分）
設(shè)

n2

=（x'，y'，1）為平面EBC的一個法向量，則

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BE

，
又

BC

=(a，0，0)，

BE

=(0，-

a

3

，

a

3

)，∴

ax′=0 -ay′ 3 + a 3 =0

解得：x'=0，y'=1，∴

n2

=（0，1，1）．（12分）cos?

n1

， 

n2

＞=

n1 •  n2

| n1 ||  n2 |

=

3

6

（13分）
∴二面角A-CE-P的大小為arccos

3

6

．（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．