Question

（本小題滿(mǎn)分9分）

已知幾何體A—BCED 的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形.求：

   （1）異面直線(xiàn)DE 與AB 所成角的余弦值；

   （2）二面角A—ED—B 的正弦值；

   （3）此幾何體的體積V 的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）異面直線(xiàn)DE與AB所成的角的余弦值為

（2）二面角A—ED—B的正弦值為．

（3）

【解析】解：方法一（1）取EC的中點(diǎn)是F，連結(jié)BF，

則BF//DE，∴∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)DE與AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴異面直線(xiàn)DE與AB所成的角的余弦值為．………………3分

   （2）AC⊥平面BCE，過(guò)C作CG⊥DE交DE于G，連AG．

可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE

∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

∴．∴．

∴二面角A—ED—B的正弦值為．………………6分

   （3）

∴幾何體的體積V為16．………………9分

方法二：（坐標(biāo)法）（1）以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4， 2），E（0，0，4）

，∴

∴異面直線(xiàn)DE與AB所成的角的余弦值為．…………3分

   （2）平面BDE的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為，

∴

從而,令，

則,

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．………………6分

   （3），∴幾何體的體積V為16．………………9分