Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤4f（x+t）恒成立，則實數t的最大值是（　　）

• A．-

  2

  3

• B．0
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：由當x≤0時，f（x）=x²，函數是奇函數，可得當x＞0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調遞減函數，且滿足4f（x+t）=f（2x+2t）．再根據不等式f（x）≤4f（x+t）在[t，t+2]恒成立，可得x≥2x+2t在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當x≥0時，f（x）=x²
∵函數是奇函數∴當x＞0時，f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2(x≤0) -x2(x＞0).

∴f（x）在R上是單調遞減函數，且滿足4f（x+t）=f（2x+2t），
不等式f（x）≤4f（x+t）在[t，t+2]恒成立，
x≥2x+2t在[t，t+2]恒成立，
即：t≤-

1

2

x在[t，t+2]恒成立，
∴t≤-

1

2

（t+2），解得t≤-

2

3

，故實數t的最大值是-

2

3

．
故選：A．

點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．