Question

已知點D（0，-2），過點D作拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的切線l，切點A在第二象限，如圖
（Ⅰ）求切點A的縱坐標；
（Ⅱ）若離心率為

3

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)恰好經過切點A，設切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設切點A（x₀，y₀），且y0=

x02

2p

，由切線l的斜率為k=

x0

p

，得l的方程為y=

x0

p

x-

x02

2p

，再由點D（0，-2）在l上，能求出點A的縱坐標．
（Ⅱ）由得A(-2

p

，2)，切線斜率k=-

2

p

，設B（x₁，y₁），切線方程為y=kx-2，由e=

3

2

，得a²=4b²，所以橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，b²=p+4，由

y=kx-2 x2+4y2=4b2

⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0，由此能求出橢圓方程．

解答：解：（Ⅰ）設切點A（x₀，y₀），且y0=

x02

2p

，
由切線l的斜率為k=

x0

p

，得l的方程為y=

x0

p

x-

x02

2p

，又點D（0，-2）在l上，
∴

x02

2p

=2，即點A的縱坐標y₀=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得A(-2

p

，2)，切線斜率k=-

2

p

，
設B（x₁，y₁），切線方程為y=kx-2，由e=

3

2

，得a²=4b²，…（7分）
所以橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，且過A(-2

p

，2)，∴b²=p+4…（9分）
由

y=kx-2 x2+4y2=4b2

⇒(1+4k2)x2-16kx+16-4b2=0，∴

x0+x1= 16k 1+4k2 x0x1= 16-4b2 1+4k2

，…（11分）k1+2k2=

y0

x0

+

2y1

x1

=

x1y0+2x0y1

x0x1

=

x1(kx0-2)+2x0(kx1-2)

x0x1

=3k-

2x1+4x0

x0x1

=3k-

2(x1+x0)+2x0

x0x1

=3k-

32k 1+4k2 -4 p

16-4b2 1+4k2

=3k-

32k-4 p (1+4k2)

16-4b2

=4k
將k=-

2

p

，b²=p+4代入得：p=32，所以b²=36，a²=144，
橢圓方程為

x2

144

+

y2

36

=1．…（15分）

點評：本題考查切點的縱坐標和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．