Question

（2008•成都二模）已知函數f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期為

π

2

．
（1）求f（

2π

3

）的值，并寫出函數f（x）的圖象的對稱中心的坐標；
（2）當x∈[

π

3

，

π

2

]時，求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據f（x）的最小正周期公式即可求出ω的值；進一步求出函數值及對稱中心．
（Ⅱ）先求出整體角的范圍，由正弦函數的單調遞減區間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]得到定義域內f（x）的單調遞減區間；

解答：解：f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

 cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

），
（1）∵函數的最小正周期為

π

2

，ω＞0
∴ω=2，
即f（x）=sin（4x-

π

6

），
∴f（

2π

3

）=sin（

8π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1，
令4x-

π

6

=kπ，
解得x=

kπ

4

+

π

24

，
所以函數的對稱中心坐標為（

kπ

4

+

π

24

，0）（k∈Z）
（2）當x∈[

π

3

，

π

2

]時，4x-

π

6

∈[

7π

6

，

11π

6

]
∵當4x-

π

6

∈[

7π

6

，

3π

2

]時，函數f（x）為減函數
∴當x∈[

π

3

，

π

2

]時，函數f（x）的單調遞減區間為[

π

3

，

5π

12

]．

點評：本題考查解決三角函數的性質問題，應該先利用三角函數的有關的公式將函數化為一個角的正弦函數，進而求出ω，確定出f（x）的解析式是本題的突破點，然后利用整體角處理的方法求出函數的有關性質．