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已知函數.（為自然對數的底）

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在常數使得對于任意的正數恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）解：由，得.

令，得，所以.                                  2分

當時，，所以在內是減函數；          

當時，，所以在內是增函數.               2分

故函數在處取得最小值.                          2分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當時，有，

即，當且僅當時，等號成立.

即兩曲線，有唯一公共點.                       3分

若存在,，則直線是曲線和的公切線，切點為.      3分

由，得直線的斜率為.

又直線過點，所以，得.

故存在，，使得對于任意正數恒成立.   3分

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（12分）已知函數且e為自然對數的底數）。

（1）求的導數，并判斷函數的奇偶性與單調性；

（2）是否存在實數t，使不等式對一切都成立，若存在，求出t；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：2014屆福建省、二中高二上學期期末聯考理科數學卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，，(為自然對數的底數)．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）函數在區間上恒為正數，求的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍．

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖南省懷化市高三第一次模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數（，為自然對數的底數）.

（1）求函數的最小值；

（2）若≥0對任意的恒成立，求實數的值；

（3）在（2）的條件下，證明：

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年甘肅高三第五次階段性學科達標考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，（為自然對數的底數）。

（1）當時，求函數在區間上的最大值和最小值；

（2）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍。

 

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科目：高中數學 來源：2013屆江西省四校度高二下學期期末聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數，(e為自然對數的底數)

（Ⅰ）當a=1時，求函數f(x)的單調區間；

（Ⅱ）若函數f(x)在上無零點，求a的最小值；

（III）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求a的取值范圍.

 

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