Question

已知函數f（x）=x²+2x+b（b∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）＜c（c＞0）的解集為（k，k+6）（k∈R），求c的值；
（Ⅱ）當b=0時，m為常數，且0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，求

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數f（x）的值域為[0，+∞），求出b的值，然后根據不等式的解集建立方程關系，求c的值；
（Ⅱ）將條件進行化簡，利用導數研究函數的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）由值域為[0，+∞），當x²+2x+b=0時有△=4-4b=0，即b=1．
則f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
由已知f（x）=（x+1）²＜c
解得-

c

＜x+1＜

c

，-

c

-1＜x＜

c

-1，
∵不等式f（x）＜c的解集為（k，k+6），
∴(

c

-1)-(-

c

-1)=2

c

=6，
解得c=9．
（Ⅱ）當b=0時，f（x）=x²+2x，
∴

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

=

t

t2+1

．
∵0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，
∴0＜1-m≤t≤m+1＜2．
令g(t)=

t

t2+1

，則g′(t)=

1-t2

(t2+1)2

，
當0＜t＜1時，g'（t）＞0，g（t）單調增，
當1＜t＜2時，g'（t）＜0，g（t）單調減，
∴當t=1時，g（t）取最大值，g(1)=

1

2

．
∵g(1-m)-g(1+m)=

1-m

(1-m)2+1

-

1+m

(1+m)2+1

=

-2m3

[(1-m)2+1][(1+m)2+1]

＜0，
∴g（1-m）＜g（1+m）．
∴g(t)=

t

t2+1

的范圍為[

1-m

(1-m)2+1

，

1

2

]．

點評：本題主要考查不等式的應用，以及利用導數研究函數的性質，綜合性較強，考查學生的計算能力．