Question

（1）已知函數y=

2x-4

（x≥2），求它的反函數．
（2）根據函數單調性的定義，證明函數f（x）=-x²+1在區間[0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）從條件中函數式 y=

2x-4

(x≥2)中反解出x，再將x，y互換即得函數y=

2x-4

（x≥2）的反函數．
（2）利用函數單調性的定義進行證明．任取1＜x₁＜x₂，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案．注意化簡f（x₂）-f（x₁）是一定要化到最簡．

解答：解：（1）∵y=

2x-4

(x≥2)，
∴y²=2x-4，（y≥0），
∴x=

y2+4

2

，
∴函數 y=

2x-4

(x≥2)的反函數是y=

x2+4

2

（x≥0），
（2）任取0≤x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=1-x₂²-1+x₁²
=x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵0≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）=1-x²在[0，+∞）上為單調減函數．

點評：本小題主要考查函數單調性的判斷與證明、反函數的知識點，解答（1）題的關鍵是熟悉求反函數的一般步驟，注意反函數的定義域和值域的求解，本題比較基礎．