Question

已知實數a，b，c∈R，函數f（x）=ax³+bx²+cx滿足f（1）=0，設f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求的取值范圍；
（2）設a為常數，且a＞0，已知函數f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求證：直線AB的斜率．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c²＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴＞0，
所以0＜1．
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，則，x₁x₂=，
∴k==
=
=a（）+b（x₂+x₁）+c
=a[]+b（x₂+x₁）+c
=a（-）+b（-）+c
=a[（-）+（-）+]
=（-+），
令t=，由b=-（a+c）得，=-1-t，t∈（0，1），
則k=[-（1+t）²+3t]=（-t²+t-1），
∵a＞0，-t²+t-1∈（-1，-]，∴k∈（-，-]．
分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=-（a+c），求導數f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示為關于a，c的不等式，進而化為關于的二次不等式即可求得的取值范圍；
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，則，x₁x₂=，把韋達定理代入k=可得關于a，b，c的表達式，令t=，k可化為關于t的二次函數式，借助（1）問t的范圍即可求得k的范圍；
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件、導數運算及直線斜率，考查轉化思想，解決（2）問關鍵是通過換元轉化為關于t的二次函數，從而可利用二次函數性質解決．