Question

（本小題滿分14分）如圖9-3，已知：射線OA為y=kx(k>0，x>0)，射線OB為y= －kx(x>0)，動點P(x，y)在∠AOx的內部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四邊形ONPM的面積恰為k.

   （1）當k為定值時，動點P的縱坐標y是橫坐標x的函數，求這個函數y=f(x)的解析式；

   （2）根據k的取值范圍，確定y=f(x)的定義域.

Answer 1

解：（1）設M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。

則|OM|=a，|ON|=b。

由動點P在∠AOx的內部，得0<y<kx。

∴|PM|==，|PN |==

∴S_{四邊形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）

=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k

∴k(a+b)x-(a-b)y=2k          ①

又由k_PM= -=， k_PN==，

分別解得a=，b=，代入①式消a、b，并化簡得x²-y²=k²+1。

  ∵y>0，∴y=

（2）由0<y<kx，得  0<<kx

       (*)

當k=1時，不等式②為0<2恒成立，∴(*)x>。

當0<k<1時，由不等式②得x²<，x<，∴(*)<x<。

當k>1時，由不等式②得x²>，且<0，∴(*)x>

但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點不能組成四邊形，所以還必須滿足條件：y<x，將它代入函數解析式，得<x

解得<x< (k>1)，或x∈k（0<k≤1）.

綜上：當k=1時，定義域為{x|x>}；

當0<k<1時，定義域為{x|<x<};

當k>1時，定義域為{x|<x<}.