Question

已知函數f(x)是定義在R上不恒為零的函數,且對于任意實數a,b∈R,滿足:
(ab)= a(b)+b(a), (2)="2," a_n=(n∈N^*), b_n=(n∈N^*).
考察下列結論: ①(0)= (1); ②(x)為偶函數; ③數列{a_n}為等比數列; ④數列{b_n}為等差數列.其中正確的結論共有( 　)

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

C

解析試題分析：令,再令,所以有(0)= (1)知①正確;令,從而令故知(x)為奇函數,故知②錯誤;對于③,由于(2)=2,所以;從而,猜想…，成等比數列且,用數學歸納法可證明此結論:對于n=1時，猜想顯然成立；假設當時，猜想正確，即，從而，那么當時，
這就是說當時猜想也成立，故，故③正確;對于④,因為,所以數列{b_n}為等差數列,故④正確.由此可知①③④正確，故選C.
考點：1.函數的性質;2.等差數列與等比數列.