Question

已知各項均不相等的等差數列{a_n}的前三項和S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n為數列{

1

anan+1

}的前n項和，若T_n≤λa_n+1對任意的n∈N^*恒成立，求證：λ≥

1

16

．

Answer 1

分析：（1）利用S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中項，建立方程組，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求和，可得T_n≤λa_n+1對任意的n∈N^*恒成立，等價于

n

2(n+2)

≤λ(n+2)對任意的n∈N^*恒成立，利用基本不等式，即可得到結論．

解答：（1）解：設數列{a_n}的公差為d，則
∵S₃=9，且a₅是a₃和a₈的等比中項，
∴

3a1+3d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

∵d≠0，∴d=1
∴a₁=2
∴a_n=n+1；
（2）證明：∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

∵T_n≤λa_n+1對任意的n∈N^*恒成立，
∴

n

2(n+2)

≤λ(n+2)對任意的n∈N^*恒成立，
∵

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2×(4+4)

=

1

16

∴λ≥

1

16

．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．