Question

設f(x)=

2-x+a

1+x

（a為實常數），y=g（x）與y=e^-x的圖象關于y軸對稱．
（1）若函數y=f[g（x）]為奇函數，求a的取值．
（2）當a=0時，若關于x的方程f[g(x)]=

g(x)

m

有兩個不等實根，求m的范圍；
（3）當|a|＜1時，求方程f（x）=g（x）的實數根個數，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數y（0）=0即可求出；
（2）將問題轉化為關于t的一元二次方程有兩個不等正實數根即可求出；
（3）將方程的實數根問題轉化為利用導數研究函數的交點問題即可．

解答：解：（1）∵y=g（x）與y=e^-x的圖象關于y軸對稱，∴g（x）=e^x．
∴y=f（g（x））=

2-ex+a

1+ex

為奇函數，
∴f（g（0））=

2-1+a

1+1

=0，解得a=-1．
經檢驗a=-1滿足條件．
（2）當a=0時，方程f（g（x））=

g(x)

m

可化為（e^x）²+（1+m）e^x-2m=0．
由題意知：此方程有兩個實數根．
令e^x=t，則方程t²+（1+m）t-2m=0有兩個不等正實數根．
∴

△=(1+m)2+8m＞0 t1+t2=-(1+m)＞0 t1t2=-2m＞0

，解得m＜-5-2

6

．
（3）方程f（x）=g（x）可化為e^x+1=

3+a

1+x

．
當|a|＜1時，方程ex+1=

3+a

1+x

由唯一實數根．
證明：分別令h（x）=e^x+1，u（x）=

3+a

1+x

（x≠-1）．
可知函數h（x）在R上單調遞增，且h（0）=2．
∵|a|＜1，∴3+a＞0，
∴u′(x)=

-(3+a)

(1+x)2

＜0，
即函數u（x）分別在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調遞減．
根據上面的分析畫出圖象：
由圖象可知：只有當x＞-1時，函數u（x）與h（x）只有一個交點．
即方程f（x）=g（x）只有一個實數根．

點評：熟練掌握函數的奇偶性、單調性及“三個二次”的關系是解題的關鍵．注意導數的應用．