Question

己知直線l的斜率為k，它與拋物線y²=4x相交于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若，則|k|=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設出直線方程，把直線方程和拋物線方程聯立后得到關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到兩個交點的橫坐標的和與積，由代入坐標整理后得到直線的斜率與截距間的關系，由兩個向量的模相等，結合拋物線定義可求出兩個交點橫坐標的具體值，代入兩根和的關系式得到直線的斜率與截距的另一關系式，解方程組可求解k的值．
解答：解：設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），與拋物線y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，即km＜1．
，．
由y²=4x得其焦點F（1，0）．
由，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）．
所以，
由①得，x₁+2x₂=3 ③
由②得，．
所以m=-k．
再由，得，
所以x₁+1=2（x₂+1），即x₁-2x₂=1④
聯立③④得．
所以=．
把m=-k代入得，解得，滿足mk=-8＜1．
所以．
故選A．
點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，解答的關鍵是利用向量關系得到兩個交點A，B的坐標的關系，同時靈活運用了拋物線的定義，屬中高檔題．