Question

（2011•廣州模擬）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，AD=33，sin∠BAD=

5

13

，cos∠ADC=

3

5

．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求BD的長．

Answer 1

分析：（1）通過cos∠ADC=

3

5

，求出sin∠ADC，利用sin∠BAD=

5

13

，求出cos∠BAD，通過sin∠ABD=sin（∠ADC-∠BAD），直接利用兩角差的正弦函數求解即可．
（2）在△ABD中，由正弦定理，直接求BD的長．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）因為cos∠ADC=

3

5

，
所以sin∠ADC=

1-cos2∠ADC

=

4

5

．…（2分）
因為sin∠BAD=

5

13

，
所以cos∠BAD=

1-sin2∠BAD

=

12

13

．…（4分）
因為∠ABD=∠ADC-∠BAD，
所以sin∠ABD=sin（∠ADC-∠BAD）
=sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD …（6分）
=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．…（8分）
（2）在△ABD中，由正弦定理，得

BD

sin∠BAD

=

AD

sin∠ABD

，…（10分）
所以BD=

AD×sin∠BAD

sin∠ABD

=

33× 5 13

33 65

=25．…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡求值，角的變換的技巧，正弦定理的應用，考查計算能力．