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直線l與橢圓+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=,又橢圓經過點(,1),O為坐標原點.

(1)求橢圓的方程.

(2)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.

 

(1) +x2=1. (2) 定值.理由見解析

【解析】(1)∵∴a=2,b=1,

∴橢圓的方程為+x2=1.

(2)①當直線AB斜率不存在時,即x1=x2,y1=-y2,

由已知m·n=0,得4-=0⇒=4,

又A(x1,y1)在橢圓上,

所以+=1⇒|x1|=,|y1|=,

S△AOB=|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面積為定值.

②當直線AB斜率存在時,設AB的方程為y=kx+t,

由⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必須Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,

得到x1+x2=,x1x2=,

∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0?4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,

S=×|AB|=|t|===1,

所以三角形的面積為定值.

 

練習冊系列答案
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過點M(-,),N(-,)的直線的傾斜角是(　　)

(A)π (B) (C) (D)

 

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(1)求雙曲線的離心率.

(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,C為雙曲線上一點,滿足=λ+,求λ的值.

 

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已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓有最大的面積,則直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=　　　　.

 

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已知點M是直線3x+4y-2=0上的動點,點N為圓(x+1)2+(y+1)2=1上的動點,則|MN|的最小值是(　　)

(A) (B)1 (C) (D)

 

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設連接雙曲線-=1與-=1(a>0,b>0)的4個頂點的四邊形面積為S1,連接其4個焦點的四邊形面積為S2,則的最大值為　　　　.

 

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過拋物線y=2x2的焦點的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=(　　)

(A)-2 (B)- (C)-4 (D)-

 

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(1)求圓C的圓心軌跡L的方程.

(2)求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程.

(3)在(2)的條件下,試探究軌跡Q上是否存在點B(x1,y1),使得過點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于.若存在,請求出點B的坐標;若不存在,請說明理由.

 

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已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期為π,為了得到函數(shù)g(x)=cosωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象(　　)

(A)向左平移個單位長度

(B)向右平移個單位長度

(C)向左平移個單位長度

(D)向右平移個單位長度

 

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