Question

（12分）（2011•湖北）設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（Ⅰ）求△ABC的周長；
（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．

Answer 1

（Ⅰ）5（Ⅱ）

解析試題分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，從而求出三角形ABC的周長；
（II）根據cosC的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根據大邊對大角，由a小于c得到A小于C，即A為銳角，則根據sinA的值利用同角三角函數間的基本關系求出cosA的值，然后利用兩角差的余弦函數公式化簡所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
解：（I）∵c²=a²+b²﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，
∴c=2，
∴△ABC的周長為a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=，∴sinC===．
∴sinA===．
∵a＜c，∴A＜C，故A為銳角．則cosA==，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．
點評：本題主要考查三角函數的基本公式和解斜三角形的基礎知識，同時考查學生的基本運算能力，是一道基礎題．