Question

設F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，A為拋物線上任意一點，以F為圓心，|AF|為半徑畫圓，與x軸負半軸交于B點，試判斷過A，B的直線與拋物線的位置關系，并證明．

Answer 1

分析：設A（

m2

2p

，m），則|AF|=

m2

2p

+

p

2

，所以AB：2my=2px+m²，聯立

2my=2px+m2 y2=2px

，得y²-2my+m²=0，再利用根的判別式能判斷直線AB與拋物線的位置關系．

解答：解：設A（

m2

2p

，m），
則|AF|=

m2

2p

+

p

2

，
∴B(-

m2

2p

，0)，∴AB：

y

m

=

x+ m2 2p

m2 p

，
即2my=2px+m²，
聯立

2my=2px+m2 y2=2px

，得y²-2my+m²=0，
∴△=4m²-4m²=0，
∴直線AB與拋物線相切．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的判斷與應用，解題時要認真審題，注意根的判別式的合理運用．