Question

已知函數

（Ⅰ）若函數在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）令是否存在實數a，當（e是自然常數）時，函數 的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當時，證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）   （2）存在實數，使得當時，g(x)有最小值3.  （3）略

【解析】(I) 函數在[1，2]上是減函數轉化為在[1，2]上恒成立,即在[1，2]上恒成立，再利用二次函數的性質，問題得解.

(II)利用導數研究其極值最值，在具體求解的過程中，要對a進行討論.

(III) 構造函數,結合第（II）問可知,令,只需要滿足即可.再利用導數研究的最大值.問題得解.

解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，

令，有 得                …………3分

所以.                                                  …………4分

（Ⅱ）假設存在實數a，使有最小值3，

.                                         …………5分

①當時，g(x)在[0，e]上單調遞減，

（舍去）.

（2）當時，g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，滿足條件.

（3）當時，g(x)在[0，e]上單調遞減，（舍去）.

綜上，存在實數，使得當時，g(x)有最小值3.        …………10分

(Ⅲ)令，由（2）知

，令，，

當時，，在上單調遞增，

所以.

所以,即.