Question

設函數f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+k（0＜ω＜π），將f（x）的圖象按

a

=（

1

3

，-1）平移后得一奇函數，
（Ⅰ）求當x∈[0，2]時函數y=f（x）的值域
（Ⅱ）設數列{a_n}的通項公式為a_n=f（n）（n∈N⁺），S_n為其前N項的和，求S₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據將f（x）的圖象按

a

=（

1

3

，-1）平移，可得到平移后的函數g(x)=2sin[ω(x-

1

3

)+

π

6

]+k-1，利用g（x）為奇函數，可得k=1，

π

6

-

ω

3

=kπ，結合0＜ω＜π，即可求得函數f（x）的解析式，進而整體思維，由x∈[0，2]，確定

π

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，從而可求當x∈[0，2]時函數y=f（x）的值域；
（Ⅱ）由a_n=f（n），可得a_n=2sin（

π

2

n+

π

6

）+1，數列的周期為4，根據S₂₀₁₀=502（a1+a2+a3+a4)+(a1+a2)=2009+

3

+a₁+a₂，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設函數f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+k（0＜ω＜π），將f（x）的圖象按

a

=（

1

3

，-1）平移后，得到函數g（x），則g(x)=2sin[ω(x-

1

3

)+

π

6

]+k-1
∵g（x）為奇函數
∴所以k=1，

π

6

-

ω

3

=kπ，∴ω=

π

2

-

kπ

3

(k∈Z)
∵0＜ω＜π，∴ω=

π

2

∴f（x）=2sin（

π

2

x+

π

6

）+1┅┅┅┅┅（3分）
∵x∈[0，2]，∴

π

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴sin（

π

2

x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）∈[0，3]┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）∵a_n=f（n），∴a_n=2sin（

π

2

n+

π

6

）+1，T=4
∴a1=

3

+1， a2=0， a3=-

3

+1，a4=2┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）
∴S₂₀₁₀=502（a1+a2+a3+a4)+(a1+a2)=2009+

3

+a₁+a₂=2009+

3

┅┅┅（12分）

點評：本題以向量的平移為載體，考查數列與三角函數的結合，考查三角函數的性質，同時考查了三角函數的值域，綜合性強．