Question

設(shè)雙曲線C₁的方程為（a＞0，b＞0），A、B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線C₁上的任意一點(diǎn)，作QB⊥PB，QA⊥PA，垂足分別為A、B，AQ與BQ交于點(diǎn)Q．
（1）求Q點(diǎn)的軌跡C₂方程；
（2）設(shè)C₁、C₂的離心率分別為e₁、e₂，當(dāng)時(shí)，求e₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求Q點(diǎn)的軌跡C₂方程，設(shè)Q（x，y），即求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，再設(shè)P（x，y），A（-a，0），B（a，0），利用QB⊥PB，QA⊥PA，直線的斜率之積為-1，即可建立Q點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式，從而得出Q點(diǎn)的軌跡C₂方程；
（2）由（1）得C₂的方程為，利用其幾何性質(zhì)求出離心率，得出與e₁的關(guān)系式，最后根據(jù)e₁的范圍即可得出e₂的取值范圍．
解答：解：（1）如圖，設(shè)P（x，y），Q（x，y），A（-a，0），B（a，0），QB⊥PB，QA⊥PA，
∴
兩式相乘得：①
∵，∴=，代入①得b²y²=x²a²-a⁴，即a²x²-b²y²=a⁴．
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)（-a，0），（a，0）不合題意，因此Q點(diǎn)的軌跡方程是a²x²-b²y²=a⁴（點(diǎn)（-a，0），（a，0）除外）．
（2）由（1）得C₂的方程為.，
∵，∴e≤1+=2，
∴1＜e≤．
點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、直線垂直的條件、不等式、點(diǎn)的軌跡方程等基本知識，考查化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．