Question

設數列{a_n}滿足當n＞1時，an=

an-1

1+4an-1

，且a1=

1

5

．
（1）求證：數列{

1

an

}為等差數列；
（2）試問a₁a₂是否是數列{a_n}中的項．如果是，是第幾項；如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意數列為非0數列，遞推關系式取倒數、即可判斷數列{

1

an

}是首項為5，公差為4的等差數列．
（2）求出數列的通項公式，求出a₁a₂令它等于通項，求出n的值即可得到結論．

解答：解：（1）根據題意a1=

1

5

及遞推關系有a_n≠0，因為an=

an-1

1+4an-1

，
取倒數得：

1

an

=

1

an-1

+4，即

1

an

-

1

an-1

=4(n＞1)
所以數列{

1

an

}是首項為5，公差為4的等差數列．
（2）由（1）得：

1

an

=5+4(n-1)=4n+1，an=

1

4n+1

又a1a2=

1

5

×

1

9

=

1

45

=

1

4n+1

⇒n=11．
所以a₁a₂是數列{a_n}中的項，是第11項．

點評：本題是基礎題，考查數列的判斷，數列通項公式的求法，數列中的項的判斷，考查計算能力．