Question

已知函數．
（1）若在處取得極值，求實數的值；
（2）求函數的單調區間；
（3）若在上沒有零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（3）.

試題分析：（1）求函數極值分四步，一是求函數定義域，二是求函數導數，三是根據導數為零將定義區間分割，討論導數值正負，；，，，四是根據導數符號變化確定極值點；（2）利用導數求函數單調性，也是四個步驟.一是求出定義域：，二是求導數，三是分析導數符號變化情況，四是根據導數符號寫出對應單調區間：減區間為,增區間； （3）在上沒有零點，即在上恒成立,也就是或，又，只須在區間上.以下有兩個思路，一是求最小值，需分類討論，當時，.當時，當時，二是變量分離，，只需求函數的最小值.
試題解析：解：（1）的定義域為.        1分
.           2分
在處取得極值，
，解得或（舍）.                   3分
當時，，；，，
所以的值為.                                         4分
（2）令，解得或（舍）.           5分
當在內變化時，的變化情況如下：

	↘	極小值	↗

由上表知的單調遞增區間為，單調遞減區間為.   8分
（3）要使在上沒有零點，只需在上或，
又，只須在區間上.
（ⅰ）當時，在區間上單調遞減，
，
解得 與矛盾.                    10分
（ⅱ） 當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
，
解得，所以.                                  12分
（ⅲ）當時，在區間上單調遞增，，滿足題意.
綜上，的取值范圍為.                          13分