Question

已知實數p、q、r滿足r²=p+q，r（r-1）=p•q且0＜p＜1＜q＜2，則實數r的取值范圍是

1＜r＜

17 -1

2

．

Answer 1

分析：由題意可得p、q是方程 x²-r² x+（ r²-r）=0 的兩根，兩根之積 r²-r＞0，①．令f（x）=x²-r² x+（ r²-r），則由二次函數的性質可得 f（1）＜0 ②，f（2）＞0 ③，再把①、②、③的解集取交集，即得所求．

解答：解：∵已知實數p、q、r滿足r²=p+q，r（r-1）=p•q，且0＜p＜1＜q＜2，故p、q是方程 x²-r² x+（ r²-r）=0 的兩根，
∵0＜p＜1＜q＜2，故由根與系數的關系可得兩根之積 r²-r＞0 ①，解得 r＜0，或 r＞1．
令f（x）=x²-r² x+（ r²-r），則由二次函數的性質可得 f（1）=1-r²+r²-r＜0 ②，f（2）=4-2r²+r²-r＞0  ③．
解②可得 r＞1，解③得

-1- 17

2

＜r＜

17 -1

2

．
綜上可得，1＜r＜

17 -1

2

，
故答案為 1＜r＜

17 -1

2

．

點評：本題主要考查二次函數的性質應用，一元二次不等式解法，屬于基礎題．