Question

已知O（0，0），A（1，0），P為線段l：x+y=2，（0＜x≤1）上的一動點．試求點P，使得P對O、A的視角∠APO最大．

Answer 1

分析：設∠APO=θ，則θ可看作PO到PA的角，由tanθ=

KPA- KPO

1+KPA•KPO

，化簡變形為

1

2(2-a)-3+ 2 2-a

，運用基本不等式求出它的最大值，即可得到θ的最大值以及此時點P的坐標．

解答：解：設點P（a，2-a ），0＜a≤1，設∠APO=θ，則θ可看作PO到PA的角．
由于PO的斜率為K_PO=

2-a

a

，PA的斜率為 K_PA=

2-a

a-1

，
由一條直線到另一條直線的夾角公式可得 tanθ=

KPA- KPO

1+KPA•KPO

=

2-a a-1 - 2-a a

1+ 2-a a-1 • 2-a a

=

a(2-a)-(a-1)(2-a)

a(a-1)+(2-a)2

=

2-a

2a2-5a+4

=

2-a

2(2-a)2-3(2-a)+2

=

1

2(2-a)-3+ 2 2-a

≤

1

4-3

=1，當且僅當

2

2-a

=1時，即a=1時，等號成立．
故tanθ的 最大值為1，θ的最大值等于

π

4

．
故點P的坐標為（ 1，1）．

點評：本題主要考查一條直線到另一條直線的夾角公式的應用，以及基本不等式的應用，式子的變形是解題的難點，屬于中檔題．