Question

如圖，已知雙曲線C₁：，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C₁，C₂都有公共點，則稱P為“C₁﹣C₂型點“

（1）在正確證明C₁的左焦點是“C₁﹣C₂型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

（2）設直線y=kx與C₂有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C₁﹣C₂型點”；

（3）求證：圓x²+y²=內的點都不是“C₁﹣C₂型點”

 

Answer 1

【答案】

（1）或，其中（2）見解析（3）見解析

【解析】

試題分析：C₁的左焦點為（），寫出的直線方程可以是以下形式：

或，其中．

（2）證明：因為直線y=kx與C₂有公共點，

所以方程組有實數解，因此|kx|=|x|+1，得．

若原點是“C₁﹣C₂型點”，則存在過原點的直線與C₁、C₂都有公共點．

考慮過原點與C₂有公共點的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．

顯然直線x=0與C₁無公共點．

如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組，得，矛盾．

所以直線y=kx（|k|＞1）與C₁也無公共點．

因此原點不是“C₁﹣C₂型點”．

（3）證明：記圓O：，取圓O內的一點Q，設有經過Q的直線l與C₁，C₂都有公共點，顯然l不與x軸垂直，

故可設l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間，

從而過Q且以k為斜率的直線l與C₂無公共點，矛盾，所以|k|＞1．

因為l與C₁由公共點，所以方程組有實數解，

得（1﹣2k²）x²﹣4kbx﹣2b²﹣2=0．

因為|k|＞1，所以1﹣2k²≠0，

因此△=（4kb）²﹣4（1﹣2k²）（﹣2b²﹣2）=8（b²+1﹣2k²）≥0，

即b²≥2k²﹣1．

因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離，

所以，從而，得k²＜1，與|k|＞1矛盾．

因此，圓內的點不是“C₁﹣C₂型點”

考點：直線與圓錐曲線的關系；點到直線的距離公式；雙曲線的簡單性質

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了點到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．屬難題