Question

 如圖甲，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

（1）若一個面體中有個面是直角三角形，則稱這個面體的直度為．那么四面體的直度為多少？說明理由；

（2）在四面體中，，設．若動點在四面體 表面上運動，并且總保持．設為動點的軌跡圍成的封閉圖形的面積關于角的函數，求取最大值時,二面角的正切值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）四面體的直度為1．

理由如下：由AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點，故AC⊥BC，　　從而底面為△。又PA垂直于⊙O所在平面，有PA⊥AB，PA⊥AC，故△PAB、△PAC都為△。又AC為PC在面ABC內的射影，由三垂線定理知PC⊥BC，故△PCB為△。綜上知四面體的四個面都為△，所以四面體的直度為1. -----------------4分

（2）∵動點在四面體表面上運動，并且總保持，

∴動點的軌跡是過點A作PB的垂面與四面體表面的交線圍成的三角形。

如圖乙：平面，并且平面與四面體的三個側面分別交于AE、AF、EF．

易知即為二面角的平面角．

∵AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點，∴BC⊥AC

∵PA⊥面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，故BC⊥面PAC，∵AF平面PAC，∴AF⊥BC．

又平面知AF⊥PB，∴AF⊥面PBC．又EF平面PBC，AF⊥FE，則為△．

在△PAB中，,，則AE=．

在△ACB中，，，有．

又在△PAC中，．

在中，．

∴=

=

．

當且僅當時．

此時．

故取最大值時二面角的正切值為1．------------12分