Question

已知函數f（x）=x³-ax²+bx．
（1）若函數f（x）在點（2，f（2））的切線方程為5x-y-8=0，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若b=-3，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知得f（2）=8-4a+2b=2，f′（2）=12-4a+b=5，解出a，b的值，接下來，利用導數求解函數單調區間的方法步驟求解；
（2）f（x）在[1，+∞）上是增函數，則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，解出a的不等式a≤

3(x2-1)

2x

，只需求

3(x2-1)

2x

的最小值即可．

解答：解：（1）根據已知易得f（2）=8-4a+2b=2，f′（2）=12-4a+b=5，
得出a=2，b=1，即f（x）=x（x-1）²，當f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，即x＞1或x＜

1

3

時，f（x）為增函數，
所以f（x）的單調遞增區間為（-∞，

1

3

）∪（1，+∞）
（2）b=-3，f（x）=x³-ax²-3x，
∵f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數
∴f′（x）=3x²-2ax-3≥0，
∴

a

3

≤

x2-1

2x

，
令g（x）=

x2-1

2x

，x∈[1，+∞）
g′（x）=

x2+1

2x2

＞0，即g（x）在[1，+∞）單調遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴a的取值范圍為a≤0．

點評：本題是函數的綜合題，主要考查函數導數的幾何意義，函數的單調性等知識，在平時多加以練習，掌握其要領．