Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0代入即可得答案；
（2）用定義確定函數f（x）是[0，1]上的增函數，所以當x=1時函數f（x）取最大值．

解答：解：（1）對于條件③，令x₁=x₂=0，得f（0）≤0，
又由條件①知，f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）設0≤x₁＜x₂≤1，則x₂-x₁∈（0，1），
∴根據③，若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
∴f（x₂）-f（x₁）
=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）≥0．
即f（x₂）≥f（x₁），故f（x）在[0，1]上是單調遞增，
∴f（x）的最大值是f（1）=1．

點評：本題主要考查抽象函數的單調性以及基本不等式的有關問題．解決抽象函數問題時，會經常對抽象函數的恒等式賦值處理或者會數形結合來處理．