Question

設函數f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1將函數f（x）的圖象向左平移a個單位，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若0＜a＜

π

2

，且g（x）是偶函數，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用降次以及兩角和的正弦，化簡為一個角的一個三角函數的形式，求函數f（x）的最小正周期；
（2）0＜a＜

π

2

，化簡g（x）利用它是偶函數，根據0＜a＜

π

2

，求a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

）

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）g（x）=f（x+a）=

2

sin[2（x+α）+

π

4

]
=

2

sin（2x+2α+

π

4

）
g（x）是偶函數，則g（0）=±

2

=

2

sin（2α+

π

4

）
∴2α+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z
α=

kπ

2

+

π

8

（ k∈Z）
∵0＜a＜

π

2

，∴α=

π

8

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，函數奇偶性的應用，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查計算能力，邏輯思維能力，是基礎題．